指数函数及其性质

指数函数的学习，相信难倒了不少的同学。关于指数函数的相关公式推导和相关性质，相信不少的同学都是比较迷茫的。为了帮助各位同学解决这个问题，小编编辑了本篇指数函数及其性质的文章!希望能够帮助各位同学更好的进行指数函数这一章节的相关学习!

一、导入

通过“动手做实验“让学生们连续对折一张白纸，然后大家一起探讨白纸对折后的页(层)数y与对折次数x的关系式，以及对折后每页纸的面积 s 与对折次数x 的关系(设这页纸的面积单位为1)。得到函数式 y=2x 和s=(1/2)x 。用字母a来代替数2和1/2，那么以上两个函数都可以表示为形如y=ax 函数。

在以上实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上均是幂的形式,且自变量x均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数。

二、指数函数的定义

定义：一般地，函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

定义分析：

1、形式上的严格性：

关于指数函数的定义按照课本上的说法它是一种形式定义，即解析式的特征必须是y=ax 的模式,不能有一点差异。

知识点巩固：

判断下列函数是否指数函数 ① y=3x-1 ② y=2-x ③ y=3.2x ④ y=(-2)x

2、底数a的限制条件(a>0且a≠1)的合理性：

(1)a<0, 若x=1/2,1/4,… 时，会出现没有意义的分数指数幂;

(2)a=0，而0的负分数指数幂没有意义;

(3)a=1，函数值 y 恒等于1，没有研究的必要，

因此，为了避免上述各种情况，所以规定底数a>0且a¹1。

三、指数函数的图像和性质

1、通过描画函数y=2x 、y=3x(a>1)和y=(1/2)x 、y=(1/3)x (0的图像，探究指数函数的图像和性质。

把这四个函数分成两组进行观察比较，指数函数y=2x 、y=3x(a>1)作为一组，y=(1/2)x 、y=(1/3)x (0作为一组，然后再把两组函数图像进行对比分析。大家一起讨论比较两组指数函数图像的异同。

一般地，指数函数y=ax (a>0且a≠1)的图像和性质如下表所示：

a>10

图

象

图

像

特

征图像分布在一、二象限，与轴相交，落在轴的上方。

都过点(0，1)

第一象限的点的纵坐标都大于1;第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1。第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1;第二象限的点的纵坐标都大于1。

从左向右图像逐渐上升。从左向右图像逐渐下降。

性

质(1)定义域：R

(2)值域：(0，+∞)

(3)过定点(0，1)，即x=0时，y=1

(4)x>0时，y>1;x<0时，0(4)x>0时，0时，y>1.

(5)在 R上是增函数(5)在R上是减函数

观察上表，那么影响指数函数图像特征的主要因素是什么呢?

——底数a的取值范围。

四、例题讲解

类型一 指数函数定义的应用

Ø 过定点问题：

例6：已知指数函数f(x)=ax (a>0,且a≠1)的图像经过 点(3，)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值。

2、函数f(x)=ax-1+3(a>0,且a≠1)的图像一定过点P，则P点的坐标是

类型二 指数函数单调性的应用

Ø 比较两数的大小

例7 比较下列各题中两个值的大小：

(1)1.72.5 ，1.73 (2)0.8-0.1，0.8 -0.2

(3)1.70.3，0.93.1 (4)

Ø 解指数不等式

练习2：如果a-5x>ax+7(a>0,且a≠1)求的取值范围。

例8 截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数量最多为多少(精确到亿)?

列表：

年份 经过年数 人口数/亿

1999 0 13

2000 1 13(1+1%)

2001 2

2002 3

… … …

1999+x x

由以上表格，可以方便地得到经过x年后，我国的人口数为：

五、归纳小结

1、小结：图象位置与底数关系

1

0

x

y

y=a-x

y=ax

(0

y

1

0

x

y=ax(a>1)

a

1

y=( )x

结论1：指数函数y=ax的图象与y=a-x的图象在同一坐标系内关于y轴对称。

结论2：⑴ 当底数a>1时，图象上升，且底数越大时，图象向上越靠近于y轴。

⑵当底数0时，图象下降，底数越小时，图象向右越靠近于x轴。

以上就是关于指数函数及其性质的全部内容了!希望各位同学能够通过本篇文章，对于指数函数的学习能够有一个更加深刻的认识，更好的掌握相关知识点，提升自己的学习成绩!